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前面我们在学 tarjan 算法时，提到过强连通分量，即有向图上的环，那么无向图上是否也有强连通分量呢？很遗憾，没有但是，无向图有双连通分量！分为点双连通和边双连通（下面简称点双和边双）。
(资料图片)
在一张联通的无向图中，对于两个点 \(x\) 和 \(y\)，删去图上的任意一条边，两个点始终保持联通，则这两个点是边双连通。边双连通分量，即极大边双连通子图，边双连通分量中的任意两点都是边双连通的，且如果加入一个不属于该子图的点，都会导致这个图不再满足两两之间边双的性质。在无向图中。删掉一条边，导致两个图不连通了，这条边就是割边，也叫做桥。
找桥的过程边双连通具有传递性，即如果 \(x\) 与 \(y\) 边双连通，\(y\) 与 \(z\) 边双连通，则 \(x\) 与 \(z\) 也边双连通。如图，在这张图中，\(A\) 与 \(B\) 边双连通，\(B\) 与 \(C\) 边双连通，根据传递性，\(A\) 与 \(C\) 边双连通。（即使不跟据传递性，他们也的确是边双连通）
如图，绿色的边和黑色的边都是树边，红色的边是返祖边。我们发现，每一条返祖边都对应着一条树上的简单路径，即覆盖了树上的一些边，覆盖了的边我们用绿边表示，黑色的边没有被覆盖。我们如果删去返祖边或者任意一条绿边，都不会影响图的连通性（如果删掉返祖边就从绿边走，如果删掉绿边就从返祖边走），但是，如果我们删掉黑边，那么整个图就会被一分为二，不再保持联通，这些黑色的边就是桥，同时返祖边和绿边一定不是桥。这样，我们只要找到所有的桥，就能确定边双连通分量了。找边双连通分量，我们可以用 tarjan 算法。
void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++ tim; // 打上时间戳for (int i = h[u], v; i; i = e[i].nxt) {v = e[i].v;if ((i ^ 1) == fa)continue;if (!dfn[v]) { // 如果这个点从未被搜过tarjan(v, i); // 继续往下搜low[u] = min(low[u], low[v]); // 正常更新 low 值if (low[v] > dfn[u]) { // 如果 v 点无法通过返祖边向上返回到 u 点即往上e[i].ok = e[i ^ 1].ok = 1; // 那么这条边就是桥}// 不理解的话可以想一想,v 点不管怎么向上都不能到达 u 点即更靠上的位置,那 u -> v 这条边就没有被返祖边覆盖,它就是桥}else { // 如果这个点已经被搜过了(说明这条边是返祖边)low[u] = min(low[u], dfn[v]); // 更新 low 值(比较的是 dfn[v],不是 low[v])}}}有两种方式，像找强连通分量那样用一个栈，或者标记桥之后再 dfs。洛谷模板题测试，用栈比标记桥更快一些。
用栈找双连通分量void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++ tim;sta.push_back(u);for (auto [v, i] : son[u]) {if (i == fa)continue;if (! dfn[v]) {tarjan(v, i);low[u] = min(low[u], low[v]);}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}if (dfn[u] == low[u]) {ans[++ dcc].push_back(u);while (sta.back() != u) {ans[dcc].push_back(sta.back());sta.pop_back();}sta.pop_back();}}void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++ tim;for (auto [v, i] : son[u]) {if (i == fa)continue;if (! dfn[v]) {tarjan(v, i);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] > dfn[u]) {ok[i] = 1;}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}}void dfs(int u) { // dfn 要清零，你也可以再开一个数组ans[dcc].push_back(u);dfn[u] = 1;for (auto [v, i] : son[u]) {if (dfn[v] || ok[i])continue;dfs(v);}}在一张联通的无向图中，对于两个点 \(x\) 和 \(y\)，删去图上的任意一个点（不能删去 \(x\) 和 \(y\)），两个点始终保持联通，则这两个点是点双连通。
删去一个点，会删掉这个点以及这个点所连接的所有的边，所以桥连接的两个点都是割点。
点双连通分量，即极大点双连通子图，点双连通分量中的任意两点都是点双连通的，且如果加入一个不属于该子图的点，都会导致这个图不再满足两两之间点双的性质。在无向图中。删掉一个点，导致两个图不连通了，这个点就是割点。
过程点双连通没有传递性，即如果 \(x\) 和 \(y\) 点双联通，\(y\) 和 \(z\) 点双联通，\(x\) 和 \(z\) 不一定点双联通。举个例子。\(A\) 与 \(B\) 点双连通，\(B\) 与 \(C\) 点双连通，但是 \(A\) 与 \(C\) 并不是点双连通。（割点为 \(B\)）
如图，黑色的边是树边，红色的边是返祖边，每一条返祖边对应着一条简单路径。现在，我们将每一条边看作是一个点，即图上蓝色的点，返祖边所覆盖的简单路径上的边都连上边，即图上的蓝边。这样，要判断点是否为割点，只要判断这个点连出去的边是否在一个连通分量里，都在一个连通分量里，就不是割点，否则就是割点这里还有另一种做法。对于某个顶点 \(u\)，如果存在至少一个顶点 \(v\)，使得 low[v]\(\geq\) dfn[u]，即不能回到祖先，那么 \(u\) 点为割点。但这个做法唯独不适用于搜索树的起始点，即搜索树的根，如果根只有一个子树，那我们把根节点删去，对图的连通性不会有任何影响，即根节点不是割点，如果根节点有着至少两个子树，那么根节点就是割点。
void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++ cnt;int son = 0;for (int i = h[u], v; i; i = e[i].nxt) {v = e[i].v;if (v == fa)continue;if (!dfn[v]) {++ son;tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u]) {ok[u] = 1;++ dcc;}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}if (fa == 0 && son < 2)ok[u] = 0;}在题目中，桥一般出现在“给定一张无向图，问是否有一种方案，能给定向，同时保证每个点都能走到”这样类似的题目上，在这道题中，有桥就没有可行方案，倘若要输出方案，我们可以利用 dfs 生成树。由于边双比点双有着更好的性质，所以一般题目都是有关边双的。
关于用vector来写 tarjan优点：动态空间，方便。缺点：慢！上面的代码我们也看到了，有些题目有重边，用一般的 vector存图方式判断是否走过重边，这里有一个方式可以实现用 vector来找重边，那就是将 vector的变量类型改成 pair，第一个元素存到达的节点，第二个元素存这条边的编号，如果不保险可以再开一个 vector、结构体或两个数组来存第 \(i\) 条边的两个端点的编号，像这样。
e.push_back({0, 0});for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {scanf("%d%d", &x, &y);son[x].push_back({y, i});son[y].push_back({x, i});e.push_back({x, y});}这样，我们在 tarjan 判重边的的过程中可以直接判断编号了。
void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++ tim;for (auto [v, i] : son[u]) {if (i == fa)continue;if (! dfn[v]) {tarjan(v, i);low[u] = min(low[v], low[u]);if (low[v] > dfn[u]) {ok[i] = 1;}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}}对于找割点，我们直接用 vector就行了，这里不存在任何限制，就是会慢。
void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++ cnt;st[++ top] = u;int ch = 0;for (int v : son[u]) {if (v == fa)continue;if (!dfn[v]) {++ ch;tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u]) {ok[u] = 1;++ dcc;while (st[top + 1] != v) {ans[dcc].push_back(st[top --]);}ans[dcc].push_back(u);}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}if (fa == 0 && ch == 0)ans[++ dcc].push_back(u);if (fa == 0 && ch < 2)ok[u] = 0;}都是来源于洛谷的模板题P8436 【模板】边双连通分量
直接用栈来找边双。#include using namespace std;typedef long long ll;typedef pair pii;const int N = 5e5 + 5;const int M = 2e6 + 5;int n, m, cnt = 1, tim, top, dcc;int h[N], dfn[N], low[N];bool ok[M];vector son[N];vector ans[N], sta;struct edge {int v, nxt;bool ok;} e[M << 1];void add(int u, int v) {e[++ cnt].nxt = h[u];e[h[u] = cnt].v = v;}void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++ tim;sta.push_back(u);for (auto [v, i] : son[u]) {if (i == fa)continue;if (! dfn[v]) {tarjan(v, i);low[u] = min(low[u], low[v]);}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}if (dfn[u] == low[u]) {ans[++ dcc].push_back(u);while (sta.back() != u) {ans[dcc].push_back(sta.back());sta.pop_back();}sta.pop_back();}}int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {scanf("%d%d", &x, &y);son[x].push_back({y, i});son[y].push_back({x, i});}for (int i = 1; i <= n; ++ i) {if (!dfn[i]) {tarjan(i, 0);}}printf("%d\n", dcc);for (int i = 1; i <= dcc; ++ i) {int siz = ans[i].size();printf("%d ", siz);for (int j : ans[i]) {printf("%d ", j);}putchar("\n");}return 0;} #include using namespace std;typedef long long ll;typedef pair pii;const int N = 5e5 + 5;const int M = 2e6 + 5;int n, m, cnt = 1, tim, top, dcc;int h[N], dfn[N], low[N];bool ok[M];vector ans[N];vector son[N];struct edge {int v, nxt;bool ok;} e[M << 1];void add(int u, int v) {e[++ cnt].nxt = h[u];e[h[u] = cnt].v = v;}void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++ tim;for (auto [v, i] : son[u]) {if (i == fa)continue;if (! dfn[v]) {tarjan(v, i);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] > dfn[u]) {ok[i] = 1;}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}}void dfs(int u) {ans[dcc].push_back(u);dfn[u] = 1;for (auto [v, i] : son[u]) {if (dfn[v] || ok[i])continue;dfs(v);}}int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {scanf("%d%d", &x, &y);son[x].push_back({y, i});son[y].push_back({x, i});}for (int i = 1; i <= n; ++ i) {if (!dfn[i]) {tarjan(i, 0);}}memset(dfn, 0, sizeof dfn);for (int i = 1; i <= n; ++ i) {if (!dfn[i]) {++ dcc;dfs(i);}}printf("%d\n", dcc);for (int i = 1; i <= dcc; ++ i) {int siz = ans[i].size();printf("%d ", siz);for (int j : ans[i]) {printf("%d ", j);}putchar("\n");}return 0;} P8435 【模板】点双连通分量
#include using namespace std;typedef long long ll;const int N = 5e5 + 5;const int M = 2e6 + 5;int n, m, cnt, top, dcc;int h[N], dfn[N], low[N], st[N];bool ok[N];vector son[N], ans[N];void tarjan(int u, int fa) {dfn[u] = low[u] = ++ cnt;st[++ top] = u;int ch = 0;for (int v : son[u]) {if (v == fa)continue;if (!dfn[v]) {++ ch;tarjan(v, u);low[u] = min(low[u], low[v]);if (low[v] >= dfn[u]) {ok[u] = 1;++ dcc;while (st[top + 1] != v) {ans[dcc].push_back(st[top --]);}ans[dcc].push_back(u);}}else {low[u] = min(low[u], dfn[v]);}}if (fa == 0 && ch == 0)ans[++ dcc].push_back(u);if (fa == 0 && ch < 2)ok[u] = 0;}int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {scanf("%d%d", &x, &y);son[x].push_back(y);son[y].push_back(x);}cnt = 0;for (int i = 1; i <= n; ++ i) {if (!dfn[i]) {top = 0;tarjan(i, 0);}}printf("%d\n", dcc);for (int i = 1; i <= dcc; ++ i) {printf("%d ", (int)ans[i].size());for (int j : ans[i]) {printf("%d ", j);}putchar("\n");}return 0;} 关键词：
